Clasificación de las proposiciones o formas proposicionales
a) Dentro de la Lógica proposicional
Como ya le habíamos anticipado, las proposiciones pueden ser atómicas o moleculares dado que revisten distintos grados de complejidad.
Las proposiciones atómicas son indivisibles y por tanto no pueden analizarse en su interior. La lógica siempre las va a representar con un variable proposicional p, q, r, s, t…. Todos los ejemplos anteriores lo son de proposiciones atómicas. Llamaremos proposiciones moleculares a aquellas que contienen al menos una conectiva. ¿Qué es una conectiva? Es un término lógico interproposicional (constante lógica) que usted encontrará en el cuadro de clasificación de los términos desde el punto de vista sintáctico.
¡Tenga cuidado! Entre los términos lógicos encontramos los intraproposicionales y los interproposicionales.
Entre las conectivas encontraremos:
Respecto de la conectiva condicional debemos hacer una aclaración: suele utilizarse para referirnos a ella la expresión ‘si…entonces…’, pero el lenguaje nos permite omitir el ‘entonces’.
a) Dentro de la Lógica proposicional
Como ya le habíamos anticipado, las proposiciones pueden ser atómicas o moleculares dado que revisten distintos grados de complejidad.
Las proposiciones atómicas son indivisibles y por tanto no pueden analizarse en su interior. La lógica siempre las va a representar con un variable proposicional p, q, r, s, t…. Todos los ejemplos anteriores lo son de proposiciones atómicas. Llamaremos proposiciones moleculares a aquellas que contienen al menos una conectiva. ¿Qué es una conectiva? Es un término lógico interproposicional (constante lógica) que usted encontrará en el cuadro de clasificación de los términos desde el punto de vista sintáctico.
¡Tenga cuidado! Entre los términos lógicos encontramos los intraproposicionales y los interproposicionales.
Entre las conectivas encontraremos:
Respecto de la conectiva condicional debemos hacer una aclaración: suele utilizarse para referirnos a ella la expresión ‘si…entonces…’, pero el lenguaje nos permite omitir el ‘entonces’.
Vea estos ejemplos:
‘Si pienso entonces existo’ o ‘si pienso, existo’ : en ambos casos estoy expresando la misma proposición molecular condicional.
Esté muy atento a este uso del condicional en los ejemplos que le demos. Recuerde: lo que nunca podrá omitirse en una expresión condicional es el si…. No confíe en el ‘entonces’.
Ya sabemos cómo representar una proposición atómica (p, q, r, s, t…), una conectiva (los signos transcriptos en la tabla anterior). Ahora ya podemos representar una forma proposicional molecular.
‘Si pienso entonces existo’ o ‘si pienso, existo’ : en ambos casos estoy expresando la misma proposición molecular condicional.
Esté muy atento a este uso del condicional en los ejemplos que le demos. Recuerde: lo que nunca podrá omitirse en una expresión condicional es el si…. No confíe en el ‘entonces’.
Ya sabemos cómo representar una proposición atómica (p, q, r, s, t…), una conectiva (los signos transcriptos en la tabla anterior). Ahora ya podemos representar una forma proposicional molecular.
Las proposiciones moleculares son designadas por la conectiva principal, de modo que una proposición molecular podrá ser conjuntiva, disyuntiva inclusiva, disyuntiva exclusiva, condicional etc.
Veamos el siguiente ejemplo:
Descartes duda: p
Escribe su obra: q
y: .
Expresión lingüística Expresión lógica
Descartes duda y escribe su obra. p . q
Tomo mate o como facturas. p v q
Tomaré mate si y sólo si el agua está caliente p q
Si Descartes duda entonces escribe su obra p q
Descartes no toma mate. - p
Recordemos la definición de “proposición”: es una estructura lógica de variado grado de complejidad, integrada por términos y cuya propiedad fundamental es ser o bien verdadera o bien falsa
El valor de verdad de p puede ser verdadero o falso, y el valor de q puede ser verdadero o falso. Pero lo que no sabemos aún es en qué casos la proposición molecular será verdadera y en qué casos falsa según se combinen los valores de verdad de las proposiciones atómicas.
Tomemos por ejemplo la proposición p . q y asignemos a cada una de las variables los valores “verdadero” y “falso”.
p
verdadero
falso
q
verdadero
falso
Ahora hagamos las cuatro combinaciones posibles.
p . q
verdadero verdadero
falso verdadero
verdadero falso
falso falso
Será el tipo de conectiva la que nos dirá en cada uno de sus casos el valor de verdad de la forma proposicional.
p
verdadero
falso
q
verdadero
falso
Ahora hagamos las cuatro combinaciones posibles.
p . q
verdadero verdadero
falso verdadero
verdadero falso
falso falso
Será el tipo de conectiva la que nos dirá en cada uno de sus casos el valor de verdad de la forma proposicional.
Ahora lo pensaremos con expresiones lingüísticas para que esto quede más claro.
Si decimos “llueve y hace frío” (p . q), vamos a suponer que:
1) Es verdad que “llueve” y es verdad que “hace frío”
2) Es verdad que “llueve” y es falso que “hace frío”
3) Es falso que “llueve” y es verdadero que “hace frío”
4) Es falso que “llueve” y es falso que “hace frío”
Con la conectiva “y” estamos expresando que se tienen que dar ambas cosas. De modo tal que la expresión lingüística será verdadera cuando llueva y haga frío, ambas cosas tienen que corresponderse con la realidad. En forma análoga la proposición molecular sólo será verdadera cuando ambas proposiciones atómicas lo sean.
Veámoslo expresado en lenguaje lógico.
p . q
verdadero verdadero verdadero
falso falso verdadero
verdadero falso falso
falso falso falso
Las cuatro combinaciones posibles serán las mismas para toda forma proposicional molecular compuesta por dos proposiciones atómicas (veremos más adelante que la cantidad de combinaciones se irá incrementando en la medida en que se agreguen proposiciones atómicas y por ende complejizándose).
Por ahora seguiremos con las proposiciones moleculares compuestas por dos atómicas y una conectiva y veamos cómo serían los valores de verdad con algunas de las conectivas que vimos:
A esto llamamos tablas de verdad. Las tablas de verdad no nos servirán para saber si llueve o hace fío como lo expresamos en el ejemplo, con estas tablas lo que podemos saber que pasaría en cada uno de los casos posibles. Aunque le aseguremos al lógico que estamos seguros de que una de las proposiciones atómicas es verdadera, él nunca dejará de considerar que puede ser o bien verdadera o bien falsa, pero no hace esto por necio, sino porque, como dijimos antes, no está reparando en el contenido de los enunciados sino en su forma o estructura. Retomaremos este tema más adelante y podremos clasificar a las proposiciones moleculares según su tabla de verdad